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惠更斯与概率论的奠基

【关键词:理学】 
摘要:惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其《论赌博中的计算》是第一部概率论著作,该书首次提出数学期望的概念,创立了“惠更斯分析法”,第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。

关键词:点子问题 概率论 惠更斯 递推法 数学期望

在纪元之初,民间就流行用抽签来解决人们彼此间的争端,这可能是最早的概率应用。随着社会的发展,随机现象愈来愈左右着人类的生活。因而在不确定性因素的情境中,寻找行为的理性规则,使理性服从机遇的愿望成为数学家研究的课题之一。直到文艺复兴时期,随机世界依然扑朔迷离、不能辨析。作为研究随机现象的概率论出现在17 世纪中叶,象征着概率论诞生的标志,就是克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huy-gens ,1629 - 1695) 在1657 年发表的《论赌博中的计算》(On Reckoning at Games of Chance ) 一文。

一、论文的来源

惠更斯1629 年诞生于海牙的一个富豪之家。其父知识渊博,擅长数学研究,同时又是一杰出的诗人和外交家。惠更斯从小受到了父亲的熏陶,喜欢学习和钻研科学问题。16 岁进入莱顿大学学习,后转到布雷达大学学习法律和数学。26 岁获得法学博士学位。数学老师范·舒藤(Frans Van Sehooten) 指导他学习当时的著名数学家、哲学家卡卡维(Carcavi) 的数学著作及其哲学著作。惠更斯从中感悟到数学的奥妙而对数学很感兴趣。1650 —1666 年期间,他大多时间在家中潜心研究光学、天文学、物理学和数学等领域,成果显著,一举成为当时闻名遐迩的科学家。

除去在光学、天文学等领域的贡献外,惠更斯也有出众的数学才能,可谓是一个解题大师,早在22 岁时就写出关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的论文。他发现了许多数学技巧,解决了大量数学问题。如他改进了计算π值的经典方法;继续笛卡尔、费马和帕斯卡的工作,对多种平面曲线,如悬链线、曳物线、对数螺线、旋轮线等都进行过研究;对许多特殊函数求得其面积、体积、重心及曲率半径等,某些方法与积分方程的积分法相似。伯努利兄弟对惠更斯的研究极为佩服,尤其是约翰(John Bernoulli ,1667 —1748) 发现旋轮线也是最速降线时甚是激动。他说:“这惠更斯等时曲线(旋轮线) 就是我们正在寻求的最速降线! 我感到十分惊奇!”惠更斯在数学方面的最大贡献,就是以《论赌博中的计算》一文奠基了概率论的基础。

1654 年,赌徒梅勒向当时的“数学神童”帕斯卡(B1Pascal ,1623 - 1662) 提出了其在赌场上遇到的几个不解问题。后帕斯卡与费马(Pierre de Fermat ,1601 - 1665) 以通信的方式对这些问题进行了较为详尽的讨论,并将其推广到一般情形,这就使概率计算由单纯计数而转向更为精确的阶段,但二人都不愿意发表研究成果,故有关概率知识没有得到及时传播。

1655 年秋,惠更斯第一次访问巴黎。他遇到罗贝瓦尔(G1P1de Roberval) 及梅勒恩(Mylon) ,但没有见到帕斯卡和费马。他获知去年有一场关于概率问题的讨论,但不知其具体解决方法及结果。由于罗贝瓦尔对此问题毫无兴趣,因而惠更斯对费马和帕斯卡的讨论结果几乎一无所知。

1656 年4 月,回国后的惠更斯自己解决了这些概率问题,并将其手稿送给范·舒藤审阅,同时写信给罗贝瓦尔,寻求几个概率问题的解答。此时范·舒藤正在筹印其《数学习题集》,因而他建议惠更斯将此文印刷发表,并亲自替学生将该文译成拉丁文。由于惠更斯没有收到罗贝瓦尔的信,便又写信给梅勒恩,并通过卡卡维将信转给费马。在1656 年6 月22 日费马的回信中,给出与惠更斯相一致的解决方案,但无证明过程。此外,费马又向惠更斯提出了5 个概率问题。阅信后,惠更斯很快解出这些问题,并把其中2 个问题收录在著作中。他于7 月6日将结果送给卡卡维让其转给梅勒恩、帕斯卡和费马确定解答正确与否。卡卡维在9月28 日的回信中肯定了惠更斯的解答,并给出帕斯卡与费马对点子问题的解决方案,但无证明。惠更斯在10 月12日给卡卡维的回信中也提出了一个无证明的解决方法。

1657 年3 月在最后一次校订时,惠更斯将其论文增加为9 个命题和5 个问题,形成了《论赌博中的计算》的基本构架。惠更斯还将给范·舒藤的一封信作为该文的前言,这篇前言形成了全文的思想基础。他在其中明确地提出:“尽管在一个纯粹运气的游戏中结果是不确定的,但一个游戏者或赢或输的可能性却可以确定。”〔1〕可能性用的是“probability”,其意义与今天的概率几无差别。惠更斯的这种思想使得“可能性”成为可以度量、可以计算、具有客观实际意义的概念。信中惠更斯强调了这一新理论的重要性:“我相信,只要仔细研究这个课题,就会发现它不仅与游戏有关,而且蕴含着有趣而深刻的推理原则。”并惋惜地说“, 法国的杰出数学家已经解决了这些问题,无人会把这个发明权授予给我。”其内容被编排在范·舒藤之书的519 - 534 页。该书出版于1657 年9 月,而荷兰文版出版于1660 年,英文版出版于1692 年,德文版出版于1899 年,法文版出版于1920 年,意大利文版出版于1984 年。

二、创立数学期望

《论赌博中的计算》的写作方式很像一篇现代的概率论论文。先从关于公平赌博值的一条公理出发,推导出有关数学期望的三个基本定理,利用这些定理和递推公式,解决了点子问题及其他一些博弈问题。最后提出5 个问题留给读者解答,并仅给出其中的3 个答案。通常所谓惠更斯的14 个命题,指的就是书中3 条定理加上11 个问题。

公理:每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数〔2〕。

对这一公理至今仍有争议。所谓公平赌注的数额并不清楚,它受许多因素的影响。但惠更斯由此所得关于数学期望的3 个命题具有重要意义。这是数学期望第一次被提出,由于当时概率的概念还不明确,后被拉普拉斯(P1S1M1de Laplace ,1749 —1827) 用数学期望来定义古典概率。在概率论的现代表述中,概率是基本概念,数学期望则是二级概念,但在历史发展过程中却顺序相反。

关于数学期望的三个命题为:

命题1  若在赌博中获得赌金a 和b 的概率相等,则其数学期望值为( a + b)P21

命题2  若在赌博中获得赌金a 、b 和c 的概率相等,则其数学期望值为( a + b + c)P31

命题3  若在赌博中分别以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 获得赌金a 和b ,则获得赌金的数学期望值为pa + qb1

这些今天看来都可作为数学期望定义。但对惠更斯来说,必须给出演绎证明,因当时对数学的一种公认处理方法是从尽可能少的公理推导其他内容。惠更斯所给的命题1 证明为:

假设在一公平的赌博中,胜者愿意拿出部分赌金分给输者。若二人的赌注均为x ,胜者给输者的为a ,因而所剩赌金为2 x - a = b ,故x = ( a + b)P2。

帕斯卡与费马在通信中所说的“值”等于赌注乘以获胜的概率,因而已于概率无本质区别。而惠更斯在这里将“值”改称为“数学期望”是一个进步(在该书荷兰版中,惠更斯仍沿用“值”的概念) 。

将命题3 推广便得到今日数学期望的定义。因此惠更斯当之无愧是数学期望概念的奠基人。

三、求解点子问题

所谓点子问题是:甲乙二人赌博,其技巧相当,约定谁先胜s 局则获全部赌金。若进行到甲胜s1 局而乙胜s2 局时( s1 < s , s2 < s) ,因故停止,赌金应如何分配才公平?

惠更斯深刻认识到点子问题的重要性,因而在其著作中有6 个命题讨论了该问题。命题4 - 7 都是有关二人的点子问题,而命题8 和命题9 将问题推广到三人及若干个人。

惠更斯的解决思路为:赌徒分得赌注的比例等于其获胜的概率。他假设赌徒在每局获胜的概率不变,且各局间相互独立。这样就可以归结为一般问题:

设随机试验中某随机事件每次成功的概率为p ,重复独立进行该试验若干次,求在b 次失败前取得a 次成功的概率。

惠更斯认识到点子问题的关键与已胜局数无关,而与离全胜所差局数相关。设甲离全胜所差局数为a= s - s1 ,而乙为b = s - s2 ,则至多再进行的局数为a + b - 1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。

命题4 - 7 分别为( a , b) = (1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (2 ,4) 。

点子问题推广后可应用于当今一些体育比赛问题。如甲、乙两队进行某种比赛,已知每局甲胜的概率为016 ,乙胜的概率为014。可采用3 局2 胜制或5 局3 胜制进行比赛,问哪种比赛制度对甲有利? 点子问题可转化为古典概型中的三大概型之一的摸球问题。即从装有m 个白球n 个黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a 次黑球前摸到b 次白球的概率。由此又可以转化为大量的应用问题。二项分布、几何分布、负二项分布等常见离散型分布均可由点子问题引申出来,所以点子问题的圆满解决是概率论诞生的标志之一。

当时梅勒问帕斯卡的另一个问题是:据经验知,一颗骰子连掷4 次“至少出现一个6 点”的概率大于1P2 ;两颗骰子掷一次的结果6 倍于一颗骰子掷一次的结果,那么,两颗骰子掷24 次“至少出现一对6 点”的概率也应大于1P2 ,但赌场的经验并非如此,应如何解释?! 梅勒愤怒地谴责数学,粗暴地断言,算术是自相矛盾的。惠更斯对此也进行了深刻讨论,并将其分解成如下三个命题。

命题10  一颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一个6 点”?

命题11  两颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一对6 点”?

命题12  一次掷多少颗骰子有利于“至少出现一对6 点”?

惠更斯利用命题3 及递推法圆满解决了上述问题。

四、独创分析法

在《论赌博中的计算》的最后两个命题中,惠更斯创立了著名的“惠更斯分析法”来解决概率问题。

命题13  甲、乙二人赌博,将两颗骰子掷一次,若其点子和为7 则甲赢,为10 则乙胜,为其它点则平分赌注。试求二人分配赌注的比例。

命题14 A ,B 二人轮流掷两颗均匀的骰子,若A 先掷出7 点,则A 胜;若B 先掷出6 点,则B 胜。B 先掷,求A 获胜的概率。

对命题14 ,惠更斯的解法为:设全部赌注为t ,A 的期望为x ,则B 的期望为t - x ,则当B 掷时,A 的期望为x ;当A 掷时,A 的期望为y 。因每次投掷时,A 的获胜概率为6P36 ,B 的获胜概率为5/36 ,由命题3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。

解得x = 31 t/36 即A 获胜的概率为31/36 。

这个问题的求解与前面的方法不同,通过列代数方程来求解,这是惠更斯的独创,该方法后被雅可布(Jacob Bernoulli ,1654 —1705) 称之为“惠更斯分析法”〔4〕。惠更斯没有给出进一步的讨论,但按其思想可得更一般解法。可见,惠更斯从数学期望入手,明确给出了概率的客观意义,但他的概率计算全是通过期望来进行的。从期望出发解释概率,与以概率定义期望的现代概率论恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。

五、惠更斯的5 个问题

惠更斯的最后5 个问题,虽也都是在形形色色的赌博机制中,计算一方取胜的概率,但在概率论诞生初期,这无疑是向同时代数学家的挑战〔5〕。他说:“给我的读者(如果有的话) 留下一些思考题应该是有益的,这将供他们练习或者打发时间。”

问题1  两人玩掷双骰子游戏。若A 掷出6 点则赢,而B 掷出7 点胜。A 先掷一次后, B 掷二次,A 再掷二次,如此下去直至一方获胜。A 与B 的胜负比是多少? (答案:10355 比12276)

该问题是费马在1656 年6 月向惠更斯提出的,显然它是命题14 的推广。在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提到问题解决方案。

问题2  一袋中装有4 个白球8 个黑球,3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。

惠更斯在其1665 年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4 。

问题3  有40 张牌,每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的4 张牌,每人投的赌注应是多少?(答案:1000∶8139)

这个问题由费马在1656 年6 月向惠更斯提出,在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提出问题解决方案。

问题4  一袋中装有4 个白球8 个黑球,甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有3 个白球。求二人获胜的机会比。

惠更斯在其1665 年的笔记中记录着这个问题的答案为35∶99 。

问题5  二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有12 个筹码,若掷出11 点,甲给乙一个筹码,而掷出14 点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。(答案:244140625∶282429536481)

这个问题就是著名的赌徒输光问题,也叫具有两个吸收壁的随机游动问题。它由帕斯卡向费马提出,后卡卡维于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和费马的解答。惠更斯在1656 年10 月12日给卡卡维的回信中提出自己的解法,其证明过程可在其1676 年的读书笔记中发现。

六、历史评价

到17 世纪时,不少学者已对赌博中的某些问题进行了讨论,并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来说,概率论是庸俗的赌博游戏,难登大雅之堂。正是社会的发展及其需要,才推动了概率论的发展。如果没有社会的需要,概率论至今恐怕仍然只能在牌桌上显示神通。“概率论产生于赌博”,这个观点是错误的或者说是不完全对的。“赌博问题”和“理性思考”是概率论产生的两个必要条件,而后者更重要。犹如苹果落地千千万,而只有牛顿从中发现了万有引力定律。

不少学者错误地认为,帕斯卡、费马和惠更斯三人一起讨论了概率问题,而后者仅是将前二者的结果著书立说。从该书的撰写过程来看,惠更斯几乎全是自己独立解决的这些概率问题,虽帕斯卡、费马间接给他提供了一些问题,但均无解答过程。概率史界认为,帕斯卡与费马的通信标志着概率论的诞生。然而他们的通信直至1679 年才完全公布于世,故惠更斯的《论赌博中的计算》标志着概率论的诞生。因此,不少学者宣称惠更斯为概率论的正式创始人。惠更斯的《论赌博中的计算》不仅是第一部概率论著作,而且是第一个把该学科建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系,第一次对以前概率论知识系统化、公式化和一般化。该书为概率论的进一步发展奠定了坚实的基础〔6〕。

1657 年9 月《论赌博中的计算》出版后立即得到学术界的认可和重视。该书在欧洲多次再版,作为概率论的标准教材长达50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度术》出版才遏制住该书的再版,然而该书的影响还在继续。因《猜度术》的第一卷就是《论赌博的计算》的注释,并籍此建立了第一个大数定理。法国数学家棣莫弗(A1de Moiver ,1667 —1754) 的《机会学说》也是在该书的基础上,由二项分布的逼近得到了正态分布的密度函数表达式。拉普拉斯在此基础上给出古典概率的定义。因此,惠更斯的概率思想对古典概率的影响是重要而持久的,其方法可以看作那一时期的特点。但是,至于什么是“理想理论”,需要考虑它的历史发展阶段,不能苛求古人,也不能执于一偏。

尽管惠更斯的《论赌博中的计算》已出版300 余年了,但其科学的思想方法已跨越时空在数学教育尤其是概率论的学习中散发着无穷的力量。了解其内容有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说“一门开始于研究赌博机会的科学,居然成了人类知识中最重要的学科,这无疑是令人惊讶的事情。”

〔参考文献〕

〔1〕C1HUYGENS.De Ratiociniis in Ludo Aleae〔M〕. Elsevirii Leiden ,1657.Reprinted English translation by Arbuthnott ,1692.

〔2〕李文林等译1 数学史通论〔M〕. 北京:高等教育出版社,2004 ,2.

〔3〕ANDERS HALD1A History of probability and statistics and their application before 1750〔M〕. Awiley - Interscience publication.1990.

〔4〕L.J.Daston1Probabilistic expectation and rationality in classical probability theory1Historia Mathematica〔J〕(1980) ,vol17 ,pp234 – 260.

〔5〕TODHUNTER.I.A History of the Mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of Laplace〔M〕.New York :Chelsea ,1965.

〔6〕徐传胜1 概率论简史1 数学通报〔J〕. 10 (2004) :36 – 39.
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